В статье рассматриваются функцииf(z) одного комплексного переменного, которые удовлетворяют ослабленному условию асимптотической моногенности, а именно, для некоторого положительногоσ<1/2 являются моногенными в каждой точкеξ относительно некоторого множестваG(ξ) нижняя плотность которого вξ больще 1/2+σ. Докаэано, что если функция log+|f(z)| суммируема относительно плоской меры Лебега в некоторой степениpσ≥1, то функцияf(z) голоморфна.