Summary. In this paper we touch upon three phenomena observed in real life as well as in simulations; in one case, we state mathematical results about the appearance of the phenomenon on arbitrary graphs (networks) under rather general conditions. We discuss a phenomenon of critical fluctuations, demonstrating that an epidemic can behave very differently even if it runs on the same network, with the same transmission probabilities and started from the same initial seeds. We explore a connection between the geographic distribution and intensity of the spreading epidemic. We argue that the speed of the spread of an epidemic depends not only on the number of current infections, but also on their geographic distribution over a country. Through the observations of these phenomena we suggest a dependence of the final epidemic size on the geometric position of initial seeds of an epidemic process.

Összefoglalás. A 2020. március és 2021. február közötti hazai COVID–19 járványügyi adatokat felhasználva a járványok geográfiai terjedését kutatjuk. Alapvető modellünk az, hogy a járvány azon emberek között terjed, akik mobilitási mintáik alapján egy városban tartózkodnak, így van esély arra, hogy találkozhatnak egymással. Ezt a hálózatot úgy közelítjük, hogy tekintjük az 1000 fő feletti települések hálózatát (gráfját), ahol a települések közötti élek súlya a közöttük becsült forgalomból, elsősorban ingázásból nyerhető. Az egyes településeken belül feltételezzük, hogy minden ember ugyanakkora valószínűséggel találkozhat. A településeken belül és között átlagolással (meanfield) kapjuk a terjedés paramétereit. Három kérdést tanulmányozunk a cikkben. Az első kettőben többé-kevésbé a várakozásnak megfelelőek az eredmények, a harmadik azonban meglepetéssel szolgált. Mennyire jelezhető előre a járvány lefutása? Szimulációink alapján az R₀ = 1 érték közelében a helyzet némileg a meteorológiai előrejelzésekhez hasonló, azonos hálózaton, azonos kezdeti fertőzésből, azonos paraméterekkel is nagyon eltérő járványgörbék keletkezhetnek. Mennyire befolyásolja a napi fertőzésszámot a járvány elterjedtsége, vagyis az, hogy mennyire oszlik meg a fertőzésszám a lakossággal arányosan az egyes településeken (járásokban, megyékben)? Szimulációink egyértelműen mutatják, hogy a fertőzöttek azonos száma mellett, minél egyenletesebb a fertőzöttek eloszlása az országban, annál nagyobb a napi új fertőzések száma. Egy járvány első, korai esetei (pl. külföldről behozott fertőzés) hogyan befolyásolják a terjedés végkimenetelét, a teljes lefutás alatti megbetegedések számát? A kutatás egyik fontos célja az, hogy megtalálja a kezdeti fertőzöttek azon konfigurációját, amely a legnagyobb járványhoz vezet. Ezzel kapcsolatban egy új jelenséget figyeltünk meg. Az általánosan elfogadott kép szerint, ha a vizsgált betegség egy elszigetelt, alacsony népsűrűségű és nem túl sűrű tömegközlekedési kapcsolattal rendelkező településen jelenik meg először, akkor gyorsan kipusztulhat anélkül, hogy nagyobb járványt okozna. Egészen más lehet a dinamika, ha a betegség egy jól összekapcsolt, sűrűn lakott településről indul, ahol könnyebben túlélhet és terjedhet szét a lakosság többi részére. A kutatás során ezt a feltevést megkérdőjeleztük, és demonstráljuk, hogy az a járvány, ami a városok hálózatának legszorosabban összekapcsolt részéből indul, hosszú távon nem mindig vezet több fertőzötthöz. Ha a betegségnek nagy a fertőzőképessége, akkor egy járvány, ami véletlenszerűen kiválasztott városokból indul, akár nagyobb populációt is megfertőzhet. Eredményeinket magyar mobilitási és járványügyi adatok, szimulációk, illetve matematikai bizonyítások is alátámasztják. A tudományos megállapításaikon túlmenően eredményeink hozzájárulhatnak járvány-előrejelzések és az intervenciós stratégiák jobb megtervezéséhez egy adott országban egy éppen zajló világjárvány idején. Arra világítanak rá, hogy egy járvány korai szakaszában nemcsak a terjedő betegség fertőzési eseteinek számát fontos követni, hanem a fertőzések geográfiai eloszlása is fontos információt hordoz. A most kidolgozott modell ilyen korai megfigyelésekből kiindulva, egy ország populációjának földrajzi szerkezetét, valamint a mobilitási hálózatának hatásait is figyelembe veszi, és már a járvány kezdeti szakaszában segíthet hosszabb távú következtetések levonásában.